Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген) немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества.
Интерполяционные формулы, формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени, значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.
Первая и вторая интерполяционные формулы Гаусса
Основным недостатком интерполяционных формул Ньютона вляется то, что они используют лишь односторонние значения функции. На практике часто оказывается полезным использовать формулы, в которых присутствуют как последующие, так и предыдущие значения функции по отношению к начальному значению.
Рассмотрим равноотстоящих узлов, в которых заданы значения некоторой функции. Требуется найти полином степени не выше, такой, чтобы выполнялось условие
(1)
Будем искать полином в виде
Поступая по аналогии с выводом первой интерполяционной формулы Ньютона, для коэффициентов получим следующие выражения
Введем новую переменную и, подставляя преобразованные выражения для коэффициентов(3) в соотношение(2), получим первую интерполяционную формулу Гаусса(для интерполирования вперёд)
Различия используются в этой формуле, образуют нижнюю ломаную линию в диагональной таблице разностей 1 (см. далее)
Если полино мискать в виде
то аналогично (4) можно получить вторую интерполяционную формулу Гаусса (для интерполирования назад)
Разности, используемые в этой формуле, образуют верхнюю ломаную линию в диагональной таблице разностей 1
Формулы Гаусса применяются для интерполирования в середине таблицы в близи. При этом первая формула Гаусса (4) применяется при, а вторая (5) – при
Таблица 1
Диагональная таблица разностей
Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов в мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.
2. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений
Метод вращений применим к эрмитовым матрицам с комплексными элементами. Для простоты рассмотрим частный случай эрмитовых матриц – действительных симметричных.
Известно, что симметричная действительная матрица может быть приведена к диагональному виду преобразованием
,(1)
где-некоторая ортогональная матрица;
Так как для ортогональной матрицы обратная матрица совпадает с транспонированной матрицей:, следующее равенство (1) равносилен
.(2)
На основе этого равенства можно построить ряд методов, отличающихся способом вычисления матрицы. Всеметоды базируются на следующем равенстве:
,(3)
где-некоторая ортогональная матрица, которая несложно вычисляется;
квадратная матрица с близкими к нулю не диагональными элементами, так как в общем случае трудноемко:
.(4)
Естественно предполагать, что коэффициенты будут близки к собственным числам матрицы.
Введем обозначение для суммы квадратов модулей недиагональных элементов по строкам:
.(5)
Замер ублизостиматрицыкдиагональномувидупримемчисло:
.(6)
Пусть с помощью преобразования подобия сортогональными матрицами построена последовательность матриц:. Процесс построения этих матриц называется монотонным, если.
Таких процессов может быть построено большое число. Рассмотрим метод вращений. Он достаточно прост по вычислительной схеме и обладает быстрой сходимостью.
Метод вращений Якоби
В методике преобразований последовательность матриц строится с помощью ортогональной матрицы вращения:
(7)
Матрица вращений получается из единичной матрицы заменой её элементов на пересечениях — х — х строк и столбцов записанными элементами.
Предположим, что преобразования доведены до шага номера и построена матрица. Найдем в ней наибольший по модулю недиагональный элемент. Если таких элементов несколько, то рассматриваем любой из них. По индексам, найденного наибольшего по модулю недиагонального элемента строим матрицу вращения, в которой угол поканеопределен. Далее образуем матрицу
.(8)
Введемобозначения:
.
Ввиду особых структур матрицы(7) в всех столбцях матрицы, кроме-го и-го, будут такими же, как в матрице. Элементы столбцов номеров будут вычисляться по формулам:
;
.(9)
Аналогично строкаматрицы,кроме-й и-й,будут такимиже,как в матрице, а элементы ест строк-й и-й вычисляется по формулам:
;
.(10)
Равенства(9) и(10) позволяют несложно вычислить коэффициенты
,
которые в силу равенства преобразуются к следующему виду:
.(11)
Сейчас назначим значение выражении(11) такое значение угла, чтобы рассматриваемый элемент обратился в нуль. Из этого условия получаем выражение:
,
из которого находим значение угла
(12)
Убедимся, что полученная таким образом матрица ближек діагональному виду, чем предшествующая. Для этого вычислим меру близости матрицы к діагональному виду. Пусть матрица имеет меру ея близости к діагональному виду. Матрица симметрична и на основании виразів (9)–(11) можна показати, что
,(13)
так как есть наибольший по модулю не диагональный элемент, отличный от нуля, который исключен при получении матрицы.
Отданных оснований выражения(13) верно неравенство:
.
Следовательно, мера уменьшиться при преобразовании(8).
Оценим скорость стремления к нулю величины при преобразованиях исходной матрицы согласно выражению (8).
Повышение элемента как наибольшего по модулю справедливого неравенства
и следовательно,
.(14)
С помощью этого неравенства из выражения(13) получается
,(15)
где.
Пусть значение. Тогда величина и изнеравенства (15) вытекает цепочка неравенств
.
Так как, чтобы мерды близости матрицы к диагональному виду будем иметь оценку
.(16)
Отсюдаследует,чтососкоростьюнеменьшей,чемскоростьсходимостигеометрическойпрогрессиисознаменателем.
Рассмотренный метод преобразования подобия сортогональной матрицей требует выбора средин недиагональных элементов преобразуемой матрицы на наибольшего по модулю. Для этого необходимо выполнить приблизительно операций.
Существую ти другие методы выбора наибольшего модуля элемента, предназначенного для исключения. Например, можна выбрать наибольшую из сумм (5). Если это есть, то в качестве элемента можно выбрать наибольший по модулю элемент из найденной строки. Притаком правиле выбора элемента необходимо выполнить примерно операций. Отметим, что оценка (16) для такого метода выбора наибольшего по модулю элемента, предназначенного для исключения, сохраняется.
Список использованной литературы:
- Бартеньев О.В. Фортран для студентов. М.: Диалог-МИФИ, 2006. 397 с.
- Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 2006. 631 с.
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 3-е изд., перераб. и доп. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. 632 с.
- Воробьев Г. Н., Данилова А. Н. «Практикум по численным методам.» — М.: Высш. шк., 2007 г. -184 с.
- Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 т. учеб. пособ. – М.: Высш. шк., 2008. 3. Исаков В.Н. Элементы численных методов: учеб. пособ. – М.: Академия, 2008.
- Протасов И.Д. Лекции по вычислительной математике: учебное пособие. – М.: Гелиос АРВ, 2009.
